Unión e intersección de conjuntos

Unión e intersección de conjuntos

La unión e intersección de conjuntos son uno de los cálculos más utilizados para ver el comportamiento de diversos conjuntos

¿Qué es unión de conjuntos?

Es la formación de un nuevo conjunto creado por dos o más conjuntos que pueden o no tener elementos en común. La simbología utilizada para representar la unión entre conjuntos es ∪.

    \[    \ A\cup B=\left\{x|x\ \in A\ \vee x\in B\right\} \]

En este caso podemos ver que la unión de dos conjuntos A y B forman un conjunto compuesto por los elementos que pertenecen a A y los elementos que pertenecen a B.

Lo anterior se lee de la siguiente manera: A unido a B, está formado por todos los elementos x, tal que x pertenece a A o x pertenece a B.

Representación gráfica.

    \[    \ A=\left\{a,\ b,\ c\right\} \]

    \[    \ B=\left\{d,\ e,\ f\right\} \]

    \[    \ A\cup B=\left\{a,\ b,c,d,e,f\right\} \]

Unión de conjuntos

Propiedades de la unión de conjuntos:

  1. Idempotencia: la unión de un conjunto consigo mismo es igual a este mismo conjunto. M\cup M=M
  2. La unión de un conjunto universal y uno de sus subconjuntos es igual al conjunto universal, por ejemplo: supongamos que tenemos como conjunto universal al conjunto de los números naturales y un subconjunto S formado por todos los números pares. S=\left\{2,4,6,8,\ldots\right\}
    Unión de conjuntos universal
  3. La unión de cualquier conjunto con el conjunto vacío es igual al conjunto dado. P\cup\emptyset=P
    Ejemplo: P=\left\{1,2,3\right\}
    Unión de conjuntos ejemplo
     
  4. Propiedad asociativa: A\cup\left(B\cup C\right)=(A\cup B)\cup C
  5. Propiedad conmutativa: A\cup B=B\cup A

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Conjuntos disjuntos

¿Qué es intersección de conjuntos?

Llamamos intersección entre conjuntos, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. La simbología utilizada para representar la unión entre conjuntos es.

    \[    \ R\cap\ S=\left\{x|x\in R\land x\in S\right\} \]

Por ejemplo: dados los conjuntos R = {1,2,3,4} y el conjunto S = {3,4,5,6}, podríamos decir que la intersección seria:

    \[    \ R\cap\ S=\left\{3,4\right\} \]

Intersección de conjuntos

Aquí podemos ver que la intersección representa los elementos comunes entre ambos conjuntos.

Propiedades de la intersección de conjuntos

  1. Idempotencia: la intersección de un conjunto consigo mismo es igual a este mismo conjunto.  M\cap\ M=M
  2. La intersección de un conjunto universal “U” y uno de sus subconjuntos “P” es igual al subconjunto dado. P\cap\ \mathbit{U}=P

    Intersección de conjuntos
  3. La intersección de cualquier conjunto y el conjunto vacío, es igual al conjunto vacío. S\cap\emptyset=\emptyset
  4. Propiedad asociativa: A\cap\left(B\cap C\right)=\left(A\cap B\right)\cap C
  5. Propiedad conmutativa: A\cap B=B\cap A

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